Hlubiny pravděpodobnosti

Fazio Cardano byl vážený milánský kupec, právník a politik se zálibou v matematice a geometrii. Byl osobní přítel, mecenáš a svého času nejspíš i milenec samotného Leonarda da Vinci. Počátkem 16. století ale šestapadesátiletý Fazio počal dítě s šestatřicetiletou služebnou Chiarou Micheri, vdovou, jejíž tři starší děti zemřely na mor. Navzdory tomu, že ji v raných fázích těhotenství opakovaně poslal za andělíčkářkami, těhotenství pokračovalo a jediný, i když nelegitimní, Faziův syn se narodil po vyčerpávajícím, tři dny trvajícím porodu na konci září 1501. Dostal jméno Gerolamo a Fazio byl nucen jej skrývat nejen před zraky rodiny, ale zejména před skandál neodpouštějícími milánskými elitami. Gerolamo vyrůstal na okraji milánského panství, ve městech Moirago a Pavia, kde byl Fazio univerzitním profesorem.

Na sklonku života se rozhodl svého syna legitimizovat a vzal si Chiaru za ženu. V době sňatku rodičů bylo Gerolamovi již 23 let. V raném dětství také přežil mor, jímž jej nakazila kojná. I přes nepěkný start do života prospíval. Odmalička jevil známky oslnivé inteligence a bryskního úsudku. Jeho sveřepá až prchlivá povaha však značně komplikovala vztah s otcem, což se nejvíce projevilo v Gerolamově pubertě, kdy sice mladý Cardano studoval všechno možné, ovšem kromě otcem požadovaných práv a obchodu. Své požadavky se Fazio snažil vynutit odpíráním apanáže, jenže Gerolamo si uměl poradit.

Na počátku novověku představoval sever Itálie fascinující, krizemi zmítané území. Cynik Machiavelli tuto éru nazval „Příšernou válkou italskou“, a to se jejího konce ani nedožil. Region tvořila mozaika států, měst a panství, mezi nimiž se trvale proměňovala nepřehledná spojenectví a nepřátelství. Horkou válku všech proti všem přiživovaly i velmoci jako Francie, Španělsko či místní Benátky, využívající zbytek severu pro své proxy-konflikty. Napětí a nejistotu zvyšovaly epidemie a příliv uprchlíků z oblastí ovládaných Osmanskou říší. Sever Itálie se stal útočištěm pro tisíce lidí z Balkánu a Blízkého východu.

Navzdory chaosu právě zde nastala doba rozkvětu věd a umění, Michelangelo sochal Davida a zdobil Sixtinskou kapli, Leonardo tvořil svá díla a Machiavelli psal své traktáty, rozvíjela se vrcholná renesance. Paradoxně ji poháněly stejné síly, které byly příčinou všech krizí. Malé, epidemiemi zdecimované státy nebyly schopny vojensky čelit velmocím a hledaly jiné způsoby přežití. Inovace v technice, architektuře či umění se staly nástroji obrany, zatímco nemocnice a obchod přispívaly k prestiži měst. Často byla jejich nedotknutelnost podmíněna obavou z božího trestu při zničení skvostných děl. Více však obavou z arkebuz s delším dostřelem, vyšší přesností a průrazností.

To vše vyžadovalo spoustu znalostí, vynalézavosti a talentu. Tehdy a právě tam propukly intelektuální závody ve zbrojení. Města se předháněla v zakládání univerzit, klášterů, lazaretů, knihoven a dalších center vzdělanosti. Šlo to o to lépe, že mnozí z křesťanských uprchlíků, vzdělanci či šlechtici, s sebou přinesli polozapomenutá antická díla i výtvory a vynálezy orientálních badatelů. A také znalosti a dovednosti, které toužili někomu předat. Doba přála talentům, jakým byl Gerolamo.

V kvasícím prostředí pojal mladý Gerolamo svou nejpřevratnější myšlenku a dost možná nejpřevratnější myšlenku novověké matematiky vůbec. Vedla k ní nejen finanční nouze daná spory s otcem, ale i jeho záliba, ve které exceloval, šachy. Kromě rozvoje věd a umění totiž tehdejší společnost rozvíjela i hazard. Tehdy a tam vznikly předobrazy karetních her, které dnes známe jako mariáš, poker či black jack, a mezi rychle se rozvíjející hazardní odvětví se zařadily i šachy. Někdejší orientální hra, v níž si šlechtici a generálové tříbili strategický úsudek, se touto dobou měnila v lidovou zábavu. V Pavii, Padově i Miláně, kde se mladý akademik nejvíce zdržoval, se tou dobou v přítmí každé taverny našel hráč ochotný zahrát si partii šachu o peníze.

Pro ambiciózního Cardana, jehož základy šachové taktiky a strategie údajně naučil samotný mistr Leonardo, to byl vítaný, i když nepříliš spolehlivý zdroj vedlejších příjmů. Jak šachová pověst mladého Cardana rostla, ubývalo soupeřů, které byl schopen spolehlivě porážet. Navíc celou Itálii v té době křižovali těžko porazitelní šachoví mistři většinou z jihoitalské Kalábrie, kteří se hrou živili na plný úvazek. Také se tehdy partie hrály bez šachových hodin, mohly trvat celé dny, a na to mladík přivydělávající si na studia a vědu, neměl čas. Proto se vrhl na jiný typ hazardu – kostky.

Ve hře zdánlivě záležící na pouhém ště stí neměli o soupeře nouzi ani ti, kteří pravidelně vyhrávali. A mladý Gerolamo briskně zpozoroval, že za vším vzrušením z hazardu tkví relativně jednoduchý matematický problém. Pro pravděpodobnost hodu šestky jednou šestibokou kostkou je totiž poměrně jednoduché spočítat rovnovážnou sázku. U necinknuté kostky v jednom případě ze šesti uspěji, v pěti případech ze šesti nikoli. Nabídnete-li proti mé sázce pětinásobek a budeme-li hrát na dostatečně vysoký počet pokusů, nikdo nevydělá ani neprodělá. Budu sice šestky házet pětkrát méně často než ostatní hodnoty, to však bude vyváženo tím, že kdykoli uspěji, zaplatíte mi pětinásobek mé sázky. Při kurzu čtyři ku jedné bude vydělávat sázející proti šestce, šest ku jedné zaručí výhru tomu, kdo se o šestku pokouší.

To, co Gerolamo vyčetl ze spisů antických matematiků, si byli vědomi i samotní hráči a měli snadný způsob, jak se podobným chytrákům vyhnout. Házeli více kostkami najednou. Pro stanovení rovnovážné sázky pro součet 25 při hodu pěti kostkami, je výpočet antickými metodami zdlouhavý. I zdatný počtář by pro výpočet rovnovážné sázky potřeboval několik desítek minut soustředěných výpočtů, na což v reálné hře zpravidla není čas. Pokud si ale pamatujete základy dnešní středoškolské matematiky, samozřejmě víte, že tyto výpočty lze významně zkrátit výpočtem počtu kombinací pro součty 25 až 30. Autorem metody byl na přelomu desátých a dvacátých let 16. století Gerolamo Cardano. Využití v hazardních hrách mu umožnilo shromáždit dostatek prostředků, aby některé své rané matematické a medicinální práce vydal vlastním nákladem ještě před smrtí svého otce (1524) a stal se tak váženým akademikem.

Svůj „systém“ pro hru v kostky ale dlouho tajil. Částečně proto, že jím vydělával a nechtěl výherní metodu prozradit, zejména ale proto, že se za své hráčství v akademických kruzích trochu styděl. Když získal dědictví po svém otci a mírně zbohatl, nenašel dostatek disciplíny svoji vlastní metodu v hráčské vřavě dodržet a několikrát v kostkách prohrál značnou částku. Avšak dlouhodobě vydělávat hrou nepřestal a umožňovalo mu to vydržovat si celou skupinu studentů, jejichž objevy a vynálezy nezřídka vydával za své vlastní. Mimo jiné i dva, které jej učinily nesmrtelným, Cardanovo řešení kubických rovnic a Cardanovu hřídel. Nakonec však své výpočty pravděpodobnosti, včetně samotného pojmu, který pro ně vymyslel, publikoval v díle „O hře v kostky“ (1560).

Cardanův formalizmus výpočtu kombinací, variací či permutací, byste dnes nepoznali. Používané vzorce jsou o století mladší a pochází od Blaise Pascala, který Cardanovy kombinatorické a pravděpodobnostní výpočty výrazně zjednodušil a zpřehlednil. Původní myšlenka a jádro výpočtů pravděpodobnosti jsou ale Cardanovým vynálezem. Těžko říct, zda si sám uvědomoval, jak revoluční ideu vlastně stvořil.

Dnes je pravděpodobnost jádrem veškeré vědy. Na výpočtech pravděpodobnosti stojí moderní termodynamika, kinetická teorie plynů, včetně definice tlaku, teorie měření, kvantová fyzika a v neposlední řadě i nejslavnější vědeckotechnický počin současnosti – umělá inteligence. Ano, velké jazykové modely (LLM) nejsou nic jiného než stroje, neustále počítající pravděpodobnost, jaké slovo bude následovat po slově, které právě píšou. Dá se říci, že Cardanova myšlenka pravděpodobnosti stojí v centru dnešního vnímání, měření a přetváření světa.

Mnohem dříve, než si knihy „O hře v kostky“ všiml Blaise Pascal a jeho prostřednictvím celá věda, ale zaujala bankéře. V době vydání knihy bylo totiž italské bankovnictví ve vleklé krizi. Na sklonku 15. století padla slavná Banco di Medici a zanechala po sobě spoustu bankéřů s pošramocenou reputací a bez produktů, které by mohli klientům nabízet. V té době proto vznikla myšlenka nová: pojištění.

Primitivní formy pojištění najdeme už v Chamurappiho zákoníku, ale fungovalo trochu opačně, než jsme zvyklí dnes. Bylo typické pro zámořský obchod a spočívalo ve formě takzvaných jistot (či kaucí). Pro starověké a středověké rejdaře bylo totiž velmi nákladné i rizikové vypravit lodě do zámoří. Lodě i posádka stály hotové jmění a vždy tu bylo riziko, že se potopí během bouře nebo budou napadeny piráty. Tak kauce vznikly. Nejdříve specializovaní lichváři, posléze banky, poskytli rejdaři určitou vysokou částku, za kterou postavil a vybavil lodě a najal posádku. Na oplátku se rejdař zavázal, že v případě úspěchu určitou část tržby předá bance. Pokud se lodě nevrátily, nebo vrátily bez nákladu, riziko nesla banka. Pokud se ovšem vrátily s podpalubím plným cenností, koření a jiného vzácného nákladu, měla banka zisk.

Cardanovy myšlenky ale vedly bankéře ke změně uvažování. ­Jistoty šlo totiž pojmout i jako formu sázky. Tím se zrodilo pojištění v dnešní podobě a příliš neliší od hry v kostky. ­Pokud si pojistíme dům proti požáru, s každým ročním pojistným uzavíráme s pojišťovnou pomyslnou sázku, že po následující rok náš dům nevyhoří. Pokud vyhoří, pojišťovna sázku prohrála a vyplatí nám „výhru“ v podobě financování opravy domu. Pokud nevyhoří, pojišťovna „vyhrála“ a naše pojistné si ponechá. Poctivý pojistitel nabízí cenu pojištění ideálně těsně nad hladinou rovnovážné sázky. Pro nás je výhodná a on bude vydělávat. Zde byla Cardanova teorie nenahraditelná stejně jako spolu s ní úzce spojený, nově se rozvíjející obor statistiky. Byť jsou dnes pojistné produkty výrazně sofistikovanější než na konci 16. století, v jádru jejich výpočtů jsou stále stejné úvahy.

Italské banky zejména v Miláně a Římě začaly moderní podobu pojištění nabízet v 80. letech 16. století. Opravdového rozmachu se ovšem pojištění dostalo o něco později na opačné straně Evropy. Konkrétně po velkém londýnském požáru roku 1666. Pro zvýšený zájem o pojištění tehdy začaly vznikat specializované finanční domy, pojišťovny.

Byla to právě popularita pojištění, která nakonec zavedla, alespoň nominálně, tento druh služby i do zdravotnictví. Jenže tu nastává problém. Pravděpodobnost, že dům po následující rok nevyhoří, je takřka pokaždé vyšší, než že vyhoří. Byla to pravda i 17. století v Anglii, a to i přes Velký londýnský požár. Jenže se zdravím to je jiné. Sázka, že někdo nebude potřebovat příštím roce, dvou letech, či deseti letech nákladnou lékařskou péči je mnohem rizikovější a z hlediska matematiky komerčního pojištění neúnosná. Suše matematicky lze říci, že na snesitelné cenové hladině pojištění se pojišťovně může vyplatit jen mladý člověk – smolař, kterého po deseti letech solidního výdělku náhle v plném zdraví postihne smrtelný úraz. Takového klienta si jednak nepřeje ani ten nejcyničtější pojišťovatel a jednak jich není dost. Ti, kteří mají ště stí dožít se požehnaného věku, který se nevyhnutelně pojí s určitými neduhy, jsou stejnou matematikou naopak prakticky nepojistitelní. Jejich pojistka by se totiž musela lehce převyšovat (o marži pro pojišťovny) náklady, které by zdravotníkům zaplatili. Kdo by měl zájem o takový produkt?

I proto většina civilizovaného světa dospěla k tomu, že ačkoli se zdravotní pojištění jmenuje pojištění, ve skutečnosti se spíše jedná o jistou formu spoření, štědře dotovaného státem a za­městnavateli. V průměru je za pojištěného utraceno zhruba tolik peněz, kolik si ve zdraví „nastřádá“ platbami pojistného, někdy i trochu víc. Podobné aspekty má německý, francouzský, a nakonec i český systém zdravotního pojištění.

Komerční produkty se pojišťovnám mohou vyplácet jen tehdy, jsou-li rozumně úzkoprofilové (např. zaměřené na určité typy diagnóz), nebo jsou „připojištěním“ k nějakému státem dotovanému systému. I tehdy s sebou nesou riziko neblahých společenských důsledků, že budou zdravotníci upřednostňovat „připojištěné“ klienty před těmi standardně pojištěnými. Pověstnou výjimkou jsou USA, ve kterých až na minimalistické, federální vládou a jednotlivými státy dotované programy MedicAid (pro nejchudší a děti) a MediCare (pro nejstarší, zdravotně postižené a válečné veterány) prakticky celé financování zdravotnictví spoléhá na komerční pojistitele. Známý systém ACA (neboli ObamaCare), zahrnující největší část amerických dospělých, je systém podobný našemu povinnému ručení automobilů. Zavedl určitým skupinám obyvatel povinnost zdravotně se pojistit u komerčních pojišťoven, jejichž produkty jsou silně regulovány. To ovšem znamená, že čistě matematicky mají pojišťovny poměrně malý manévrovací prostor, jak vytvořit pojištění s garancí zisku. Zpravidla to vyrovnávají konsolidací do velkých konglomerátů, čímž snižují konkurenční tlak. Vedle toho si velmi kreativně vykládají zákonem danou povinnost hradit konkrétní péči, odkládají platby či rozhodnutí o úhradě na nejzazší pravidly povolené termíny a snaží se všemi možnými prostředky z úhrad vyvléknout. Málo­kdo z pojištěných si totiž může dovolit složitou a zdlouhavou právní bitvu s pojišťovnou, zvlášť když vedle toho zápolí s těžkou nemocí. Na nepříliš laciné pojistky přitom pojišťovny lákají klienty vzbuzováním dojmu, že mají hrazeno víc péče, než jsou nakonec ochotny platit. Nevyhnutelně to vede ke spoustě osobních křivd a často i tragédií. Podle některých průzkumů až dvě třetiny Američanů zažily, nebo znají někoho, kdo se kvůli odmítnuté úhradě zadlužil nebo dokonce ztratil nějaká léta života.

To vše před nedávnem vyústilo k tragédii naprosto veřejné. Brian Thompson, ředitel jedné z komerčních zdravotních pojišťoven United Healthcare, byl 4. prosince 2024 na své cestě na setkání s investory pojišťovny zavražděn Luigim Mangionem. Z okolností střelby, konkrétně „podpisu“ na kulkách, i z manifestu pachatele je zřejmé, že se jednalo o jakousi pomstu motivovanou právě zmíněnými praktikami. Čin pochopitelně vzbudil mnoho pobouření, i když nemalá skupina Američanů pravděpodobně vnímá Mangioneho jako lidového hrdinu, který se mstí i za jejich útrapy.

Při vší úctě k nim se musím Thompsona zastat. Nejen proto, že si smrt veřejnou popravou nikdo nezaslouží, ale zejména proto, že byl v celé věci vlastně docela nevinně. Ano, dost možná nařizoval ty nejnechutnější popisované praktiky. Jenže mu mnoho jiného nezbývalo. Komerční finanční domy nejsou charity a vydělávat musí. Čelí tlaku akcionářů a investorů, jejichž peníze ve skutečnosti spravují především. Slovy samotného Cardana tedy Thompson „hleděl více na matematiku hry než na vzruchy, které přináší“. Tak by se podle něj měl chovat každý hráč kostek. Mnohem více, než Brian Thompson může za celou situaci spoléhání amerického systému na komerční subjekty ve financování zdravotní péče. I proto, přepočteno na veřejné náklady na jednotku výkonu, patří americké zdravotnictví k nejdražším na světě.

I u nás, kde zdravotní pojišťovny nejsou vázané nutností zisku, se sporadicky setkáváme s problémy hrazení péče. Z politických důvodů je pojistné v mnoha ohledech drženo uměle nízko a při napjatých veřejných rozpočtech neexistuje ani velká ochota více jej dotovat ze státního (z ostatních daní) ani politická vůle zvýšit účast zaměstnavatelů. Navíc ceny nejmodernější lékařské péče exponenciálně rostou. Na poli léčivých přípravků a jejich úhrad všichni s napětím očekávají, jak s finanční bilancí zdravotních pojišťoven pohnou nově zavedené nadlimitní úhrady. Mnozí odhadují, že pojišťovnám citelně vzrostou náklady, neboť jejich schopnost vracet nadlimitní platby pacientům nebyla zdaleka stoprocentní.

I proto bychom měli pamatovat na zmíněný americký skandál. Je docela možné, že se zhoršující se bilancí zdravotních pojišťoven znovu poroste chuť do českého zdravotnictví zavést prvky komerčního pojištění a zkušenost z druhého břehu Atlantiku varuje, že by to nemusel být nejlepší nápad. Možná by více pomohlo přejmenovat zdravotní pojištění například na „zdravotní spoření“. Zdravotní pojišťovny by se staly spořitelnami, což by mohlo vést k větší ochotě občanů (pacientů) více platit a spořit si na zdraví. Podle matematiky pravděpodobnosti, kterou zavedl Gerolamo Cardano, by to dávalo větší smysl.

Daniel Cvejn